左乘和右乘的区别（初等矩阵左乘和右乘的区别）

miaosupai 2周前 (06-24) 阅读数 8 #新闻资讯

《左乘与右乘的数学舞蹈：理解矩阵运算中的方向性》

（图侵删）

摘要

本文深入探讨了线性代数中左乘与右乘的本质区别及其数学意义。通过分析矩阵乘法的非交换性、线性变换的复合顺序以及实际应用中的不同场景，揭示了左乘与右乘不仅仅是运算顺序的不同，更反映了数学结构和物理意义的重要差异。文章从基础概念出发，逐步深入到高级应用，为读者提供全面而系统的理解框架。

关键词

左乘；右乘；矩阵乘法；线性变换；非交换性；基变换；坐标系变换

引言

在线性代数和相关数学领域中，矩阵乘法是最基础也是最重要的运算之一。然而，对于初学者甚至有一定经验的学习者来说，左乘与右乘的区别常常令人困惑。为什么A×B与B×A会得到不同的结果？为什么在某些变换中必须使用左乘而在另一些情况下又必须使用右乘？这些问题的答案不仅关系到计算结果的正确性，更深刻地反映了数学结构的内在逻辑。

本文将从矩阵乘法的定义出发，系统地分析左乘与右乘在数学表达、几何解释以及实际应用中的区别。我们将看到，这种区别绝非仅仅是形式上的不同，而是蕴含着丰富的数学内容和物理意义。

一、矩阵乘法的基本定义与运算规则

矩阵乘法的定义本身就蕴含着方向性的概念。给定两个矩阵A∈R^(m×n)和B∈R^(n×p)，它们的乘积C=AB∈R^(m×p)定义为：

C_ij = Σ(A_ik * B_kj) for k=1 to n

这个定义表明，矩阵乘法是按照"行乘以列"的方式进行的，而这种方向性直接导致了左乘与右乘的非对称性。

矩阵乘法的非交换性是其最显著的特征之一。对于大多数矩阵A和B，AB≠BA。这一性质从根本上决定了左乘与右乘会产生不同的结果。例如，考虑以下两个2×2矩阵：

A = [1 2; 3 4]

B = [0 1; 1 0]

计算可得：

AB = [2 1; 4 3]

BA = [3 4; 1 2]

显然，AB≠BA。这个简单的例子展示了矩阵乘法中顺序的重要性。

结合律是矩阵乘法保持的重要性质，即对于任意三个可乘矩阵A、B、C，有(AB)C = A(BC)。这一性质使得我们可以省略括号，简单地写成ABC，而不必担心歧义。然而，这并不意味着顺序可以任意改变——ABC、BAC、ACB等都是不同的矩阵。

二、左乘与右乘的线性变换解释

从线性变换的角度看，左乘与右乘的区别更加明显且富有几何意义。在数学上，矩阵可以看作是对向量进行线性变换的工具。当我们将一个矩阵A左乘向量v（即Av）时，表示对v施加由A定义的线性变换。

考虑两个线性变换f和g，分别由矩阵A和B表示。那么复合变换f∘g（先应用g再应用f）对应的矩阵就是AB，即对向量v先右乘B再左乘A：A(Bv)。相反，复合变换g∘f对应的矩阵则是BA。由于函数复合一般不满 *** 换律，这也解释了为什么AB≠BA。

基变换是理解左乘与右乘区别的另一个重要视角。当我们需要改变向量的表示基时，左乘和右乘扮演着不同的角色。通常，坐标变换矩阵是左乘的，而基变换矩阵是右乘的（或更准确地说，基向量排列成的矩阵是被右乘的）。这种区别反映了"主动变换"与"被动变换"的哲学差异。

三、左乘与右乘在不同数学领域中的应用差异

在解线性方程组Ax=b时，我们常常需要对系数矩阵A进行一系列行变换。这些行变换实际上就是左乘一系列初等矩阵。例如，交换两行对应于左乘一个置换矩阵，某行乘以常数对应于左乘一个对角矩阵，而行间的加减对应于左乘一个单位矩阵加上一个位置元素的矩阵。这种左乘操作保持了方程的解不变，因为若E是初等矩阵，则Ex=EA^(-1)b是等价变换。

在计算机图形学中，变换矩阵的累积顺序至关重要。通常，图形变换采用列向量表示，且变换是左乘的。这意味着一个物体先进行变换A再进行变换B，其总变换矩阵是BA而不是AB。这与直觉可能相反，但符合"后应用的变换先出现在矩阵乘法中"的原则。例如，先旋转再平移的变换矩阵是平移矩阵乘以旋转矩阵。

在马尔可夫链中，状态转移矩阵可以左乘或右乘概率向量，取决于概率向量的表示方式。如果概率向量是行向量，则右乘转移矩阵；如果是列向量，则左乘转移矩阵。这种区别虽然看起来只是约定问题，但实际上反映了对随机过程的不同视角：是考虑状态向量的演化还是考虑转移矩阵的作用。